Что, скажите, привнес компьютер в нашу жизнь нового, неведомого до него? Тексты и раньше набирали на машинках, фотографии ретушировали, музыку проигрывали и сочиняли, верстали газеты и журналы, переписывались, бухгалтеры перелопачивали горы цифр и даже делали сложные детали на станках с ЧПУ. Были разработаны сложные механизмы для прорисовки мудреных кривых, была целая наука о номограммах, умещающих на одном графике несколько функций с разными параметрами. Рискуя навлечь гнев фанатиков бесчисленных вариантов применения компьютеров, заявляю: главное, что он позволил нам увидеть фракталы. Это модное понятие взрывообразно шагает по планете, завораживая своей красотой и таинственностью новые батальоны любителей, и проявляясь в самых неожиданных областях: метеорологии, философии, географии, биологии, механике и даже истории. Есть, например, гипотеза о фрактальной структуре Тунгусского метеорита. Трудно найти журнал, не писавший о фракталах или страничку программиста без галереи фракталов.

 

О необычайной популярности фракталов свидетельствует подмеченный случай – одна знакомая, добрая милая дамочка, проживающая в рамках кухонной плиты, школьных хлопот с детьми и телесериалов, выбирая ткань для платья, сказала: «Красивый рисунок, в нем есть что-то фрактальное». Писать о фракталах вообще – занятие, попадающее под выявленный Козьмой Прутковым закон о невозможности объять необъятное. (Кстати, его вопрос «где начало того конца, которым оканчивается начало?» вполне можно считать предтечей сотен нынешних публикаций о самоподобии фракталов.) Поэтому из множества разделов этой темы мы не будем рассматривать историю фракталов, споры о приоритете Мандельброта в открытии их, не рассмотрим такие фрактальные разделы, как L-деревья (подробнее о них смотрите Жизнь среди ветвей и рекурсий,  точечные атракторы (Волшебные точки на экране), снежинку Коха и ковер Серпинского в Компьютерных вестях.

 

Впрочем, тому, кто интересуется математикой, наверняка этот самый ковёр Серпинского хорошо известен. У мэтра популярной математики Мартина Гарднера найдём, что ещё в 1905 году на ежегодной математической олимпиаде в Венгрии предлагалась задача: «Квадрат разделён на 9 частей (как для игры крестики-нолики) и центральный квадрат удалён. Затем каждый из оставшихся 8 квадратов разделён на 9 частей, центральный квадрат удалён и процедура повторяется многократно. Найти предел, к которому стремится площадь полученной фигуры». Так вот – полученная фигура и есть ковёр Серпинского – квадрат настолько дырявый, что он уже ближе к линии. Известны множество объектов, застрявшие на полпути от одного измерения к другому, например, по аналогии с ковром можно представить куб Серпинского, трухлявый как губка, почти не обладающий объёмом. Для таких объектов создано направление математики – теория размерностей, занимающаяся серьёзными приложениями, например, вычисление длины береговой линии из-за изломанности формы не подающееся простым вычислениям. Каждый пустяшный реферат непременно содержит список использованной литературы, причем первыми перечисляются работы авторов, причисленных на данный момент к классикам. Также и приличная статья должна содержать обзор ресурсов Интернета по интересующей нас теме. Если мы зададим слово «фрактал» в любом поисковике, то придем к мысли, что Рунет создавался для фракталов. И, если отбросить анекдоты, знакомства, новости из жизни поп-звезд, пупсики-кроватки и прочие лакомства для буратин с короткими мыслями, то так оно, возможно и есть. Ибо, как каждый юный веб-дизайнер непременно выкладывает «Портфолио» из своих шедевров, так же каждый приличный программист, отдыхая душой от бесконечных корректировок квартального баланса, создает и любовно выкладывает фрактальную галерею.

 

На страничке Cut-The-Knot (разруби узел ) профессора математики Университета Айовы Александра Богомольного, без устали ежемесячно в течение четырех лет публикующего занимательные статьи по всем разделам математики с java-аплетами, находится аплет, удачно иллюстрирующий описанный выше процесс. Если по аплету щелкнуть мышкой, то начинают прорисовываться линии, соединяющие точки, появляющиеся от возведения в квадрат числа, соответствующего точке клика мышки. Если мы щелкаем вне «неваляшки», то наше число после одного-двух возведений в квадрат улетает за рисунок. Причем, чем темнее зона, по которой мы щелкаем, тем больше зигзагов сделает соответствующее число перед «улетом в космос». Если мы щелкнем по белой зоне внутри рисунка, то зигзаг вырождается, сделав пару уменьшающихся ломанных линий. И, самое интересное, если мы щелкнем по «лохматой области», то получим долгое замазывание ломанными линиями зоны рисунка, это мы вызвали к жизни фрактальное множество Мандельброта. Теперь мы готовы к рассмотрению практической реализации рассмотренного процесса, но прежде два лирических отступления.

 

 

Отступление первое. Почему же фракталы так красивы? Так сказочно, обворожительно, волнующе (какие еще есть эпитеты?) красивы. Так красивы, что материалисты-циники, с усмешкой отбрасывающие многочисленные брошюры, выводящие наличие Бога из красоты окружающего мира, просто в недоумении. «Когда передо мной прекрасный часовой механизм, я невольно думаю об авторе, сотворившем его» – восклицал Бенедикт Спиноза. Размышления и восторги по поводу красоты фракталов, может, и не приведут нас в Церковь (наверное, этого недостаточно), но оставят в изумлении. Ведь если красота горных вершин, звездного неба или морского прибоя ожидаема, привычна (а как же иначе?), то откуда же берется красота возводимых в квадрат комплексных чисел? Математика вся пронизана красотой и гармонией, но одно дело математика предметная, имеющая дело с реальными вычислениями и измерениями, и совсем другое дело комплексные числа. Ведь они выдуманы человеком, искусственно назначившим правила их существования и действия над ними. В этом отношении они сродни шахматам – искусственно придуманным правилам жизни некоторых объектов. И тоже несущих в себе красоту, (помимо спортивного азарта). Как-то, разбирая партии Капабланки, я был поражен, сколько в них интриги, остроумия и изящества. (К сожалению, позже, особенно с приходом Петросяна, красота партий шахматистов верхних эшелонов стала менее доступной для простых любителей, постоянные неочевидные попытки улучшения труднопонятных позиций, но, скорее всего, я просто слаб в шахматах.)

 

Отступление второе. Фракталы связаны кроме всего прочего и с биологией. При определенных условиях хаос (так называемый…) возможно может стихийно, или по неизвестным пока законам, создавать некоторые самоорганизующиеся структуры. Если эта гипотеза подтвердится, то мы получим ответ на вопрос о происхождении жизни, а важнее его вряд ли вообще есть вопросы. Подключайтесь – вряд ли вы найдете более достойное применение отпущенной вам способности мыслить.

 

Заинтересовавшиеся могут найти в Сети интересные статьи по синергетике и теории Хаоса. Нас же более интересует то, что некоторые фрактальные рисунки похожи на клеточные организмы. Это дает простор для фантазии – можно изучать законы жизни вами же созданных так называемых биоморфов, с удивлением открывая у своих детищ черты, присущие настоящим организмам. Например, почитайте«Изучение законов наследственности у биоморфов» .

 

Полностью – на «Арбузе».